bzoj1013 球形空间产生器sphere [高斯消元]

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Description

  有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在,你被困在了这个n维球体中,你只知道球面上n+1个点的坐标,你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标,以便于摧毁这个球形空间产生器。


Input

  第一行是一个整数n($1\le N\le 10$)。接下来的n+1行,每行有n个实数,表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点后6位,且其绝对值都不超过20000。


Output

  有且只有一行,依次给出球心的n维坐标(n个实数),两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。


Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0


Sample Output

0.500 1.500


HINT

提示:给出两个定义:
1、 球心:到球面上任意一点距离都相等的点。
2、 距离:设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn),则AB的距离定义为:$dist = sqrt( (a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 +\dots+ (a_n-b_n)^2 )$


Solution

第一次写高斯消元,借鉴了黄学长的代码,时间复杂度$O(n^3)$
这道题还是比较裸的高斯消元,利用n+1的点的信息,我们很容易列出
$$ \sum_{i=1}^{n} (ans[j]-a[i][j])^2=r^2 $$
分别与第一组式子做差,易得:
$$ \sum_{i=2}^n 2ans[j](a[i][j]-a[1][j])+a[1][j]^2-a[i][j]^2$$
直接高斯消元求解即可


Code

#include<bits/stdc++.h>
#define eps 1e-6
#define maxn 15
// #define DEBUG
using namespace std;
int n;
double a0[maxn],a[maxn][maxn];

int dcmp(double x)
{
  if(fabs(x)<=eps) return 0;
  else return x>0?1:-1;
}

void init()
{
#ifdef DEBUG
  freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
  scanf("%d",&n);
  for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%lf",&a0[i]);
  for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=n;++j)
    {
      double x;
      scanf("%lf",&x);
      a[i][j]=2*(x-a0[j]);
      a[i][n+1]+=x*x-a0[j]*a0[j];
    }
}

void gauss()
{
  for(int i=1;i<=n+1;++i)
  {
    if(!dcmp(a[i][i]))
    {
      int k=i;
      while(!dcmp(a[k][k])) k++;
      swap(a[i],a[k]);
    }
    for(int j=i+1;j<=n;++j)
    {
      for(int k=i+1;k<=n+1;++k)
        a[j][k]-=a[i][k]*(a[j][i]/a[i][i]);
      a[j][i]=0;
    }
  }
  for(int i=n;i>1;--i)
    for(int j=1;j<i;++j)
    {
      a[j][n+1]-=a[i][n+1]*(a[j][i]/a[i][i]);
      a[j][i]=0;
    }
  for(int i=1;i<n;++i)
    printf("%.3lf ",a[i][n+1]/a[i][i]);
  printf("%.3lf",a[n][n+1]/a[n][n]);
}

int main()
{
  init();
  gauss();
  return 0;
}

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