bzoj4031 小Z的房间 [Matrix-Tree定理]

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Description

你突然有了一个大房子,房子里面有一些房间。事实上,你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形,每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候,相邻的格子之间都有墙隔着。
你想要打通一些相邻房间的墙,使得所有房间能够互相到达。在此过程中,你不能把房子给打穿,或者打通柱子(以及柱子旁边的墙)。同时,你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓,所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在,你希望统计一共有多少种可行的方案。


Input

第一行两个数分别表示n和m。
接下来n行,每行m个字符,每个字符都会是’.’或者’’,其中’.’代表房间,’’代表柱子。


Output

一行一个整数,表示合法的方案数 Mod $ 10^9 $


Sample Input

3 3
. . .
. . .
. * .

Sample Output

15


HINT

对于前100%的数据,$ n,m\le 9 $


Solution

对可连的两房间连边,建出无向图,套用Matrix-Tree定理即可


Code

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 110
#define eps 1e-6
#define LL long long
// #define DEBUG
using namespace std;
int n,m,num=0;
int div_xy[4][2]={{-1,0},{1,0},{0,-1},{0,1}};
int id[maxn][maxn];
long long a[maxn][maxn];
long long MOD=1000000000;
char Map[maxn][maxn];

inline int dcmp(double x)
{
  if(abs(x)<eps) return 0;
  else return x>0?1:-1;
}

inline int read()
{
  char ch;
  int sign=1,read=0;
  do
    ch=getchar();
  while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-');
  if(ch=='-') sign=-1,ch=getchar();
  while(ch>='0'&&ch<='9')
  {
    read=read*10+ch-'0';
    ch=getchar();
  }
  return sign*read;
}

void build()
{
  n=read(),m=read();
  for(int i=1;i<=n;++i)
    scanf("%s",Map[i]+1);
  for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=m;++j)
      if(Map[i][j]=='.') id[i][j]=++num;
  for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=m;++j)
      if(Map[i][j]=='.')
        for(int k=0;k<4;++k)
        {
          int x=i+div_xy[k][0],y=j+div_xy[k][1];
          if(x<1||y<1||x>n||y>m||Map[x][y]!='.') continue;
          a[id[i][j]][id[x][y]]=-1;
          a[id[i][j]][id[i][j]]++;
        }
  n=--num;
}

void det()
{
#ifdef DEBUG
  for(int i=1;i<=n;++i){
    for(int j=1;j<=n;++j)
      cerr<<a[i][j]<<" ";
    cerr<<endl;}
#endif
  bool rev=0;
  for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=n;++j)
      a[i][j]=(a[i][j]+MOD)%MOD;
  for(int i=1;i<=n;++i)
  {
    if(!dcmp(a[i][i]))
    {
      int k=i;
      while(!dcmp(a[k][k])) k++;
      swap(a[i],a[k]);
      rev^=1;
    }
    for(int j=i+1;j<=n;++j)
    {
      while(a[j][i]!=0)
      {
        int x=a[j][i]/a[i][i];
        if(x!=0)
        {
          for(int k=i;k<=n;++k)
          {
            a[j][k]-=a[i][k]*x%MOD;
            if(a[j][k]<0) a[j][k]+=MOD;
          }
        }
        else
        {
          swap(a[i],a[j]);
          rev^=1;
        }
      }
    }
  }
  long long ans=1;
  for(int i=1;i<=n;++i) ans=ans*a[i][i]%MOD;
  if(rev) ans=(MOD-ans)%MOD;
  printf("%lld\n",ans);
}

int main()
{
  build();
  det();
  return 0;
}

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